【欧拉方程求解微分方程】在微分方程的求解过程中，欧拉方程（Euler equation）是一种特殊的二阶常微分方程，其形式为：
$$
x^2 y'' + x y' + a y = 0
$$
其中 $ a $ 是常数。这类方程在物理和工程中具有广泛的应用，尤其是在处理具有对称性或极坐标下的问题时。
为了求解欧拉方程，通常采用变量替换法，将原方程转化为常系数线性微分方程。具体步骤如下：
求解步骤总结
1. 变量替换：令 $ t = \ln x $，则 $ x = e^t $。
2. 计算导数：利用链式法则，将 $ y' $ 和 $ y'' $ 转换为关于 $ t $ 的导数。
3. 代入原方程：将转换后的导数代入原方程，得到一个关于 $ t $ 的常系数线性微分方程。
4. 求解新方程：使用特征方程方法求解新的微分方程。
5. 回代变量：将结果转换回原来的变量 $ x $，得到原方程的通解。
欧拉方程求解方法对比表
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 变量替换 | 令 $ t = \ln x $，将方程从 $ x $ 转换为 $ t $ |
| 2 | 导数转换 | 计算 $ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} $ 计算 $ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right) $ |
| 3 | 方程转换 | 将原方程转换为关于 $ t $ 的常系数微分方程 |
| 4 | 特征方程 | 解特征方程 $ r(r - 1) + r + a = 0 $，即 $ r^2 + a = 0 $ |
| 5 | 通解形式 | 根据特征根的不同情况，写出通解形式（实根、共轭复根、重根） |
| 6 | 回代变量 | 将 $ t $ 替换为 $ \ln x $，得到最终解 |
示例：求解欧拉方程 $ x^2 y'' + x y' + y = 0 $
1. 令 $ t = \ln x $，则 $ x = e^t $
2. 计算导数：
- $ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} $
- $ y'' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \frac{dy}{dt} \right) = \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) $
3. 代入原方程：
$$
x^2 y'' + x y' + y = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} + \frac{dy}{dt} + y = \frac{d^2 y}{dt^2} + y = 0
$$
4. 解得特征方程 $ r^2 + 1 = 0 $，即 $ r = \pm i $
5. 通解为 $ y(t) = C_1 \cos t + C_2 \sin t $
6. 回代 $ t = \ln x $，得最终解：
$$
y(x) = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x)
$$
通过上述方法，可以系统地解决欧拉方程，并将其推广到更复杂的非齐次或高阶情形。掌握这一方法有助于理解更多类型的微分方程及其应用。