sinx 加 cosx 分之一的不定积分，也就是积分 1 除以 (sinx 加 cosx) dx，最终结果等于二分之根号二乘以 ln 绝对值 tan (x 除以 2 加八分之派) 加 C，也可以写成二分之根号二乘以 ln 绝对值 sec (x 加四分之派) 加 tan (x 加四分之派) 加 C，这个积分属于三角函数有理式积分，因为被积函数分母是 sinx 加 cosx，不能直接套用基本积分公式，所以需要先把分母辅助角合并，再使用三角恒等变换转化成可以积分的形式，之所以选择辅助角公式是最简便的思路，相比万能代换 t 等于 tan 二分之 x 计算量更小，不容易算错，我们可以按照标准解题流程，第一步使用辅助角公式把 sinx 加 cosx 合并成根号二乘以 sin (x 加四分之派)，第二步原积分转化成根号二分之一乘以积分 1 除以 sin (x 加四分之派) dx，第三步记住余割函数积分公式积分 cscu du 等于 ln 绝对值 cscu 加 cotu 加 C，或者等价写成 ln 绝对值 tan (u 除以 2 加四分之派) 加 C，第四步回代 u 等于 x 加四分之派，补上积分常数 C，最终得到不定积分结果。
核心推导过程
辅助角公式
sinx 加 cosx 等于根号二 sin (x 加四分之派)
原积分 I 等于 ∫ 1/(sinx+cosx) dx
代入之后 I 等于 ∫ 1/[根号二 sin (x 加四分之派)] dx
也就是 I 等于 根号二分之一 ∫ csc (x 加四分之派) dx
令 u 等于 x 加四分之派 du 等于 dx
I 等于 根号二分之一 ∫ cscu du
∫cscu du 等于 ln 绝对值 cscu 加 cotu 加 C
回代 u 等于 x 加四分之派
I 等于 二分之根号二 ln 绝对值 csc (x 加四分之派) 加 cot (x 加四分之派) 加 C
两种等价结果对照表
| 表达形式 | 结果 |
|---|---|
| csccot 形式 | 二分之根号二 ln 绝对值 csc (x 加四分之派) 加 cot (x 加四分之派) 加 C |
| tan 半角形式 | 二分之根号二 ln 绝对值 tan (x 除以 2 加八分之派) 加 C |
拓展方法 万能代换法
万能代换 t 等于 tan (x 除以 2)，sinx 等于 2t/(1 加 t 平方)，cosx 等于 (1 减 t 平方)/(1 加 t 平方)，dx 等于 2dt/(1 加 t 平方)，代入原式之后可以化简分式积分，但是这个方法计算步骤更长，容易出现代数运算错误，考试优先推荐辅助角合并的方法。
易错点提醒
1 不要漏掉绝对值，对数里面真数必须加绝对值，不定积分题目不加绝对值会扣分
2 积分常数 C 不能忘记，不定积分一定要加任意常数 C
3 辅助角合并的时候，系数根号二不能丢，很多同学合并之后忘记前面的根号二，最后结果系数错误
4 定义域注意，sinx 加 cosx 不能等于零，也就是 x 不等于负四分之派加 k 派，k 是整数，积分区间要避开这些间断点
【常见问题】
问题 1 sinx 加 cosx 分之一的不定积分为什么优先用辅助角公式
回答 1 sinx 加 cosx 分之一的不定积分优先用辅助角公式，是因为辅助角合并之后直接变成 csc 函数积分，计算量比万能代换更小，是 sinx 加 cosx 分之一的不定积分最优解法。
问题 2 sinx 加 cosx 分之一的不定积分可以用万能代换求解吗
回答 2 sinx 加 cosx 分之一的不定积分可以用万能代换求解，只是代数化简步骤更多，同样可以得到和辅助角法一致的 sinx 加 cosx 分之一的不定积分结果。
问题 3 sinx 加 cosx 分之一的不定积分结果里面为什么要有绝对值
回答 3 sinx 加 cosx 分之一的不定积分里面对数项必须加绝对值，因为对数真数要求大于零，这是 sinx 加 cosx 分之一的不定积分书写规范，不加绝对值属于扣分错误。
问题 4 sinx 加 cosx 分之一的不定积分可以写成别的等价形式吗
回答 4 sinx 加 cosx 分之一的不定积分可以写成多种等价形式，csccot 形式和 tan 半角形式本质相等，都是 sinx 加 cosx 分之一的不定积分正确答案。
【免责申明】
本文为高等数学不定积分学习参考，不同教材积分公式写法略有差异，解题请结合课本和任课老师要求，本内容不替代正式教材，不作为考试唯一标准答案。